58问答库 > 数列{a n }是公差为正数的等差数列，a 2 、a 5 且是方程x 2 -12x+27=0的两根，数列{b n }的前n项和为T n

数列{a n }是公差为正数的等差数列，a 2 、a 5 且是方程x 2 -12x+27=0的两根，数列{b n }的前n项和为T n

2025-05-12 13:39:35
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回答（1）：

（1）∵等差数列{a n }的公差d＞0，a 2 、a 5 且是方程x 2 -12x+27=0的两根，
∴a 2 =3，a 5 =9．
∴d=
9-3
5-2
=2，
∴a n =a 2 +（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
又数列{b n }中，T n =1-
1
2
b n ，①
∴T n+1 =1-
1
2
b n+1 ，②
②-①得：
b n+1
b n
=
1
3
，又T 1 =1-
1
2
b 1 =b 1 ，
∴b 1 =
2
3
，
∴数列{b n }是以
2
3
为首项，
1
3
为公比的等比数列，
∴b n =
2
3
? (
1
3
) n-1 ；
综上所述，a n =2n-1，b n =
2
3
? (
1
3
) n-1 ；
（2）∵c n =a n ?b n =（2n-1）?
2
3
? (
1
3
) n-1 ，
∴S n =a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+a n b n
=1×
2
3
+3×
2
3
×
1
3
+…+（2n-1）×
2
3
× (
1
3
) n-1 ，③
∴
1
3
S n =
2
3
×
1
3
+3×
2
3
× (
1
3
) 2 +…+（2n-3）×
2
3
× (
1
3
) n-1 +（2n-1）×
2
3
× (
1
3
) n ，④
∴③-④得：
2
3
S n =
2
3
+
4
3
[
1
3
+ (
1
3
) 2 + (
1
3
) 3 +…+ (
1
3
) n-1 ]-（2n-1）×
2
3
× (
1
3
) n ，
S n =1+2[
1
3
+ (
1
3
) 2 + (
1
3
) 3 +…+ (
1
3
) n-1 ]-（2n-1）× (
1
3
) n
=1+2×
1
3
[1- (
1
3
) n-1 ]
1-
1
3
-（2n-1）× (
1
3
) n
=2-
2n+2
3
× (
1
3
) n-1
=2-（2n+2）× (
1
3
) n ．

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