用反证法, 假设存在连续双射f: R² → [0,1].
由f是满射, 则存在(a,b), (c,d) ∈ R²使f(a,b) = 0, f(c,d) = 1.
不难构造连续映射g, h: [0,1] → R², 使g(0) = h(0) = (a,b), g(1) = h(1) = (c,d),
且对任意x, y ∈ (0,1), 有g(x) ≠ h(y).
(实际上就是取两条(a,b)到(c,d)的连续曲线, 并使二者在端点以外不相交).
可知复合映射fg, fh: [0,1] → [0,1]也连续, 并满足fg(0) = fh(0) = 0, fg(1)=fh(1) = 1.
由介值定理, 存在s, t ∈ (0,1)使fg(s) = 1/2 = fh(t).
但由f是单射, 有g(s) = h(t), 与g, h的选取矛盾.
因此不存在连续双射f: R² → [0,1].
假设R^2的子集D中有映射：f(x,y)->[0,1],设存在双射g(x)->[0,1],若f为双射，则存在f(x,y)=g(x)，so what？
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