证明f(x)=√x在[0,1]上一致连续

应该讨论该函数在[0，1]和[1，无穷]

在[0，1]，在零点和1点的极限存在，所以一直连续。（充要条件）

在[1，无穷]上有，|√x1-√x2|。

扩展资料：

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

常用的连续性的最根本定义是在拓扑学中的定义，在条目连续函数 (拓扑学)中会有详细论述。在序理论特别是域理论中，有从这个基础概念中得出的另一种抽象的连续性：斯科特连续性。

^|f(x1)-f(x2)|=|√x1-√x2|du≤√|x1-x2|<ε

则对任意ε>0 都存在δ=ε^2，使得对任意x1，x2满足|x1-x2|<δ

就有|f(x1)-f(x2)|<ε

因此f(x)=√x在[0，+∞]上一致连续

扩展资料：

当函数在区间I上一致连续时，无论在区间I上的任何部分，只要自变量的两个数值接近到一定程度，总可以使相应的函数值达到预先指定的接近程度。

某一函数f在区间I上有定义，如果对于任意的ε>0，总有δ>0 ，使得在区间I上的任意两点x'和x"，当满足|x'-x"|<δ时，|f(x')-f(x")|<ε恒成立，则该函数在区间I上一致连续。对于在闭区间上的连续函数，其在该区间上必一致连续。一致连续的函数必定是连续函数。

参考资料来源：百度百科-一致连续

利用常用不等式处理，解答如图