58问答库 > 高等数学⼀数学分析的一道题：下面说法正确的是： I存在(0,1)到[0,1]的连续满射

高等数学⼀数学分析的一道题：下面说法正确的是： I存在(0,1)到[0,1]的连续满射

2025-05-13 07:01:46

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回答（1）：

（1）没错，如分段函数
0
1/3<=x<=2/3 f(x)=2-3x
2/3<=x<1 f(x)=3x-2

(2) 不存在，闭区间连续函数必有界而且有最大值最小值
即 [0,1]到(0,1)的连续满射f(x)的值域必为闭区间[m,M]

也可反证，若存在这样的函数f(x),那么存在 an使得f(an)=1/n
an为有界数列，存在收敛子列a[in], 设lim a[in]=a
那么必有 f(a)=limf(a[in])=lim(1/in)=0 矛盾。

(3) 不存在，反证，设f（x）为(0,1)到[0,1]的连续双射

假设f(a)=0,f(b)=1，不妨设a那么取c=a/2，设d=f(a/2) 那么 0与f为单射矛盾。