已知{an}是单调递增的等差数列,首项a1=3,前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,首项b1=1,且a2b2=12,S3+b

2025-05-12 19:16:25
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(Ⅰ)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,
则a2b2=(3+d)q=12,①
S3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=9+3d+q=20,即3d+q=11,
变形可得q=11-3d,②
代入①可得:(3+d)(11-d)=33+2d-3d2=12,
3d2-2d-21=0,
(3d+7)(d-3)=0,
又由{an}是单调递增的等差数列,有d>0.
则d=3,
q=11-3d=2,
an=3+(n-1)×3=3n,bn=2n-1…(6分)
(Ⅱ) cnSncos3nπ=

Sn
3
2
n2+
3
2
n
n是偶
?Sn=?
3
2
n2?
3
2
n
n是奇
…(9分)
当n是偶数,Tn=c1+c2+c3+…+cn=-S1+S2-S3+S4-…-Sn-1+Sn
=a2+a4+a6+…+an=6+12+18+…+3n=
3n(n+2)
4
…(10分)
当n是奇数,TnTn?1?Sn
3(n?1)(n+1)
4
?
3
2
n2?
3
2
n=?
3
4
(n+1)2

综上可得Tn
3n(n+2)
4
n是偶
?
3
4
(n+1)