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已知a>0,b>0且a^2+b^2⼀2=1,求a*根号(b^2+1)的最大值

2025-05-12 19:18:57

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回答（1）：

a*根号下b^2+1可写为根号下a^2*b^2+a^2,令之等于y，则y^2=a^2*b^2+a^2

又因为a^2+b^2/2=1，所以2a^2=2-b^2
2y^2=2(a^2*b^2+a^2)=2a^2*b^2=2a^2=(2-b^2)b^2+2-b^2
=-b^4+b^2+2 令t=b^2
则2y^2=-t^2+t+2 当t=1/2时2y^2有最大值9/4
so：，，，y^2=a^2*b^2+a^2 y^2最大为9/8
y的最大值就为3*（根号2）/4 利用均值不等式
得出：y=根号下a^2*b^2+a^2小于等于3*（根号2）/4
即：a*根号下b^2+1最大值为：3*（根号2）/4

回答（2）：

应当是a≥0,b≥0吧？
∵a^2+b^2/2=1 ∴b²=-2a²+2
∴a√(b²+1)=a√(-2a²+3)
当a=0时，a√(b²+1)=a√(-2a²+3)有最大值为0

回答（3）：

不知道是a²+b²/2=1还是(a²+b²)/2=1?
两个都解答了一下:
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1.
已知
a>0
b>0
,a²+b²/2=1,则a*根号(1+b²)的最大值是?
由a²+b²/2=1得:
b²=2-2a²
设:a*根号(1+b²)=m
a²*(1+b²)=m²
a²*[1+(2-2a²)]-m²=0
令:a²=X得:
X*(3-2X)-m²=0
2X²-3X+m²=0
关于X的方程要有解,判别式>=0得:
(-3)²-4*2*(-m²)>=0
解得:m<=3*(根号2)/4
所以m的最大值为:3*(根号2)/4
此时:a²=3/4
b²=1/2
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2.
已知
a>0
b>0
,(a²+b²)/2=1,则a*根号(1+b²)的最大值是?
由(a²+b²)/2=1得:
b²=2-a²
设:a*根号(1+b²)=m
a²*(1+b²)=m²
a²*[1+(2-a²)]-m²=0
令:a²=X得:
X*(3-X)-m²=0
X²-3X+m²=0
关于X的方程要有解,判别式>=0得:
(-3)²-4*1*(-m²)>=0
解得:m<=3/2
所以m的最大值为:3/2
此时:a²=3/2
b²=1/2

回答（4）：