58问答库 > 已知a>0,b>0且a+b=1,则(1⼀a^2-1)(1⼀b^2-1)的最小值是多少？

已知a>0,b>0且a+b=1,则(1⼀a^2-1)(1⼀b^2-1)的最小值是多少？

可以详细解答吗？

2024-12-13 07:49:56

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回答（1）：

(1/a²-1)(1/b²-1)
=[(1-a²)/a²][(1-b²)/b²]
=[(1-a²)(1-b²)]/(ab)²
=(1+a)(1-a)(1+b)(1-b)/(ab)²
=(1+a)(1+b)ab/(ab)²
=(1+a+b+ab)/ab
=(2+ab)/ab
=2/(ab)+1
由均值不等式得，当a=b=1/2时，ab有最大值1/4
此时原式有最小值9

回答（2）：

(1/a^2-1)(1/b^2-1)分解开
=1/(a^2 * b^2)-1/a^2-1/b^2+1
= 1/(a^2 * b^2)-（a^2+b^2）/ a^2b^2 + 1
=1/(a^2 * b^2)-(1-2ab)/a^2 * b^2 + 1
=2/ab + 1

(a+b)^2=1 a^2+b^2>=2ab, a^2+b^2+2ab=1
所以ab<=1/4
所以原式 >= 8+1=9
最小是9
此时a=b=1/2