58问答库 > 已知数列{an}中，a1=1，an=an-1?3n-1（n≥2，n∈N*），数列{bn}的前n项和Sn＝log3(an9n)(n∈N*)．（I）求

已知数列{an}中，a1=1，an=an-1?3n-1（n≥2，n∈N），数列{bn}的前n项和Sn＝log3(an9n)(n∈N)．（I）求

2025-05-13 21:38:30

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回答（1）：

（I）∵log₃a_n=log₃a_n-1?3^n-1，两边取以3为底的对数得log₃a_n=log₃a_n-1+（n-1）移向得log₃a_n-log₃a_n-1=n-1，
log₃a₂-log₃a₁=1，
log₃a₃-log₃a₂=2，
…
log₃a_n-log₃a_n-1=n-1，
以上各式相加得（n≥2）
log3an?log3a1＝1+2+…+(n?1)＝

n(n?1)

，log3an＝

n(n?1)

，且对n=1时也成立．
∴Sn＝log3(

)＝

n2?5n

(n∈N*)
∴b₁=S₁=-2，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n-3，且对n=1时也成立
∴数列{b_n}的通项公式b_n=n-3（n∈N^*）．
（II）设数列{|b_n|}的前n项和为T_n，当bn＝n?30≤0即n≤3时，Tn＝?(b1+b2+…+bn)＝?S n＝

5n?n2

；n＞3时，Tn＝?(a1+a2+a3)+(a4+a5+…+an)＝Sn?2S3＝

n2?5n+12