证明（0，1】不是紧集-实分析里的

我做的开覆盖 B（Xi,Xi/2), Xi∈（0,1]。思路如下，讨论限于欧几里得空间。 (这上面编辑符号有点麻烦，尽量文字叙述了) 你一定知道，紧集和有界闭集是等价的说法。 我们假设已经做出(0,1]的这样的一个开覆盖，此开覆盖没有有限子覆盖，直接证明其没有有限子覆盖的话，难度很大，应该用反证法，也就是：再假设找到了他的有限子覆盖，然后推出矛盾。一个简单的方法就是，从他是紧急推出(0,1]是闭集（或者还有其他矛盾，后面详述），这个矛盾是显然的。看起来应该在0那一点动点手脚。 此外我们知道，如果y不属于集合E，则对于任意的x∈E，存在δx>0,使得B(x,δx)∩B(y,δx)=空集(否则，存在x∈E，对任意的δ>0……能得到一个点列极限同时是x和y，于是x=y，矛盾) 我们就选这样的B(x,δx)，x∈E作为E的开覆盖，它是没有有限子覆盖的。为了证明， 假设B(x1,δ1),B(x2,δ2)，...，B(xm,δm)，m∈N 是他的有限子覆盖。 令δ0 = min{δ1,δ2,...,δm}，于是B(y,δ0)∩E=空集，y不属于E的闭包。 很自然想到，在（0,1]中,0属于它的闭包，我们选取y=0,推出y不属于(0,1]的闭包这个矛盾即可。 为此只要做开覆盖B（Xi,Xi/2), Xi∈（0,1]，这样做的理由是，其中任意一个开集都能找到y=0的邻域和它的交集为空。

麻烦采纳，谢谢!