证明的细节部分参考:Rudin的数学分析原理(Principles of Mathematical Analysis)
这里提供一些思路:
先证明实空间上的紧集都是闭集,证明方法见书中第二章,定理2.34。(其实结论不仅在实空间上成立,对任意Hausdoff空间均成立)。
利用紧集是闭集,紧集的补集是开集和紧集的有限覆盖性质,使用反证法。大意是如果无限交是空集,那么第一个集合可以被其他集合的补集(它们都是开集)覆盖,因此可以找到一个有限子覆盖。但是第一个集合和其他有限的集合的交集都是非空的,矛盾。细节见书中第二章,定理2.36