解答：证明：（1）如图，连接BD．
∵AD⊥AB，D在圆O上，
∴∠DAB=90°，
∴DB是⊙O的直径．
∴∠1+∠2+∠D=90°．
又∵AE=AF，
∴BE=BF，∠2=∠3．
∵AB=AC，
∴∠D=∠C=∠2=∠3．
∴∠1+∠2+∠3=90°．
即OB⊥BF于B．
∴直线BF是⊙O的切线． （4分）
（2）作AG⊥BC于点G．
∵∠D=∠2=∠3，
∴cosD＝cos∠3＝
．4 5
在Rt△ABD中，∠DAB=90°，AD=4，cosD＝
，4 5
∴BD＝
＝5，AB＝AD cosD
＝3．
BD2?AD2
在Rt△ABG中，∠AGB=90°，AB=3，cos∠2＝
，4 5
∴BG＝ABcos∠2＝
．12 5
∵AB=AC，
∴BC＝2BG＝
． （8分）24 5
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