58问答库 > 如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，PE=PB．（1）求证：

如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，PE=PB．（1）求证：

2025-05-14 00:54:32

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回答（1）：

解：①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵PC=PC，
∴△PBC≌△PDC（SAS）．
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC．
又∵PB=PE，
∴PE=PD．
②（i）当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
而∠PEB+∠PEC=180°，
∴∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°﹣（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，
∴PE⊥PD．
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．
（iii）当点E在BC的延长线上时，如图．
∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴PE⊥PD．
综合（i）（ii）（iii），PE⊥PD；
（2）过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE．
∵AP=x，AC=