58问答库 > 已知道实数x，y满足关系，x^2+y^2-2x+4y-20=0 则x^2+y^2的最小值为···

已知道实数x，y满足关系，x^2+y^2-2x+4y-20=0 则x^2+y^2的最小值为···

2025-05-12 20:03:56

推荐回答（3个）

回答（1）：

这是个条件极值问题，最通用的方法叫拉格朗日乘数法，我想你应该没必要用去了解吧
你的水平应该用几何方法最好了
首先画出满足 x^2+y^2-2x+4y-20=0 的图形，就是一个圆啦
然后考虑 x^2+y^2 的几何意义，不就是点（x,y)到原点的距离的最小值的平方
然后你看 x^2+y^2-2x+4y-20=0 上那点到原点距离最短就是啦（当然是过圆心的啦，可以用三角形两边和大于第三边进行证明）
答案应该是 5-sqrt(5) 其中sqrt 是根号的意思

回答（2）：

x^2+y^2-2x+4y-20=(x-1)^2+(y+2)^2-25=0
当x=1,y=-2时,取得最小值-25

回答（3）：

x^2+y^2-2x+4y-20=0可以化为
x^2-2x+1+y^2+4y+4-25=0再可以化为
（x-1)^2+(y+2)^2=25,即其图像为以（1，-2）为圆心5为半径的圆，
所以数形结合，x^2+y^2的最小值即是求图像离原点最近的距离
即是半径减去圆心到原点的距离，即是5-根号5