58问答库 > 已知两个等比数列{an}，{bn}满足a1=a（a＞0），b1-a1=1，b2-a2=2，b3-a3=3，若数列{an}唯一，则a=______

已知两个等比数列{an}，{bn}满足a1=a（a＞0），b1-a1=1，b2-a2=2，b3-a3=3，若数列{an}唯一，则a=______

2025-05-14 12:03:32

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回答（1）：

设等比数列{a_n}的公比为q，由题意可得（2+aq）²=（1+a）（3+aq²），
整理得关于未知数q的方程：aq²-4aq+3a-1=0．
∵a＞0，△=4a²+4a＞0，关于公比q的方程有两个不同的解，
再由数列{a_n}唯一，公比q的值只能有一个，故这两个q的值必须有一个不满足条件．
再由公比q的值不可能等于0，可得方程aq²-4aq+3a-1=0必有一根为0，求得a=

．
故答案为

．

回答（2）：

a1=a，a2=a1q=aq，a3=aq^2b1=a+1，b2=aq+2，b3=aq^2+3b2^2=b1b3(aq+2)^2=(a+1)(aq^2+3)aq^2-4aq+3a-1=0△=(4a)^2-4a(3a-1)=16a^2-12a^2+4a=4a(a+1)>0所以方程有两个不等实根而数列an唯一，即q唯一所以两个实根中必有一个为0即3a-1=0a=1/3