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（Ⅰ）设f（x）在（0，+∞）内可导，且limx→0+f（x）=limx→+∞f（x），证明：存在一点ξ＞0使f′（ξ）
（Ⅰ）设f（x）在（0，+∞）内可导，且limx→0+f（x）=limx→+∞f（x），证明：存在一点ξ＞0使f′（ξ）
2025-05-07 08:41:30
推荐回答（1个）
回答（1）：
（II）设
lim
x→
0
+
f(x)=
lim
x→+∞
f(x)
=B，
令F（t）=
B，
t＝0，
π
2
f(tant)，
0＜t＜
π
2
．
则F（x）在
[0，
π
2
]
上连续，在
(0，
π
2
)
内可导，且F（0）=
F(
π
2
)
=B．
由罗尔定理可得，?η∈
(0，
π
2
)
，使得F′（η）=0，
即：f′（tanη）?sec
2
η=0．
注意到secη≠0，故f′（tanη）=0．
取ξ=tanη＞0，则有f′（ξ）=0．
（II）令F（x）=f（x）-
x
1+
x
2
．
因为0≤x≤
x
1+
x
2
，?x＞0，
且
lim
x→
0
+
x
1+
x
2
=
lim
x→+∞
x
1+
x
2
=0，
故利用夹逼定理可得，
lim
x→
0
+
f(x)
=0，
lim
x→+∞
f(x)
=0，
从而
lim
x→
0
+
F(x)
=
lim
x→
0
+
(f(x)?
x
1+
x
2
)
=0，
lim
x→+∞
F(x)
=
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