58问答库 > 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=a（Sn-an+1）（a为常数，且a＞0），且a3是6a1与a2的等差中项．（1）求{an

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=a（Sn-an+1）（a为常数，且a＞0），且a3是6a1与a2的等差中项．（1）求{an

2025-05-16 19:52:20

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回答（1）：

（1）根据S_n=a（S_n-a_n+1），分别令n=1，2，3，可求得：
a1＝a，a2＝a2，a3＝a3；
∴6a+a²=a³；
∵a＞0；
∴6+a=a²，解得a=3；
∴S_n=3（S_n-a_n+1）①；
∴n＞1时，S_n-1=3（S_n-1-a_n-1+1）②；
∴①-②得：a_n=3a_n-1；
∴

an?1

＝3；
∴{a_n}是首项为3，公比为3的等比数列；
∴an＝3n；
（2）bn＝3nlog23n＝n?3nlog23；
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=log₂3（1?3¹+2?3²+…+n?3ⁿ） ①；
∴3T_n=log23(1?32+2?33+…+n?3n+1) ②；
∴①-②得：?2Tn＝log23(3+32+…+3n?n?3n+1)=log23?[

3(1?3n)

1?3

?n?3n+1]=

?(n+

)3n+1；
∴Tn＝?

2n+1

?3n+1．