58问答库 > 在△ABC中，BC=a,AC=b,且a,b是方程x^2-2√3x+2=0的两根，又2cos(A+B)=1,求∠C，和AB长

在△ABC中，BC=a,AC=b,且a,b是方程x^2-2√3x+2=0的两根，又2cos(A+B)=1,求∠C，和AB长

2025-05-18 20:57:44

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回答（1）：

1、∵2cos(A+B)=1∴cos(A+B)=1/2∵在三角形中∴A+B=60°∴C=120°2、∵a,b是方程x^2-2√3x+2=0的两根∴a+b=2√3 ab=2∴(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+2*2=12∴a^2+b^2=8由余弦定理得 AB^2=a^2+b^2-2abcosC=8-2*2*cos120°=10∴AB=√10

回答（2）：

（1）
在△ABC中，角C＝180-（A+B)
故， cos(A+B)＝-cosC因2cos(A+B)＝1
即， cosC＝-1/2 ，故角C＝120度

（2）
利用余弦定理AB:
AB边即角C所对的边c,故
c^2＝a^2+b^2-2a*b*con120 (1)
利用配方解方程：
（x-根号3）^2-1＝0，故x1＝1＋根号3
x2＝-1+根号3
令a＝x1＝根号3+1； b＝根号3-1
将 a,b值代入（1）式，即
c^2＝(根号3+1）^2+（根号3-1)^2-2*(根号3+1)*( 根号3-1)*(1/2) (con120 ＝-1/2)
整理后得：AB=c＝根号10