58问答库 > 已知函数f(x)=sinx（sinx＋根号3cosx），x∈【0，拍⼀2】。

已知函数f(x)=sinx（sinx＋根号3cosx），x∈【0，拍⼀2】。

1求fx的最大值和最小值2若cosx（a＋拍／6）＝3／4，求f（a）的值

2025-05-14 00:17:37

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回答（1）：

f(x)=sinx(sinx+√3cosx)
=(sinx)^2+根号3sinxcosx
=(1-cos2x)/2+根号3/2 sin2x
=sin2x*cosπ/6-cos2x sinπ/6+1/2
=sin(2x-π/6)+1/2
其中x∈[0,π/2],那么2x-π/6属于[-π/6,5π/6]
所以，-1/2<=sin(2x-π/6)<=1.
即f(x)的最大值是：1+1/2=3/2，最小值是：-1/2+1/2=0。
f(x)=sinx(sinx+√3cosx)
=sin^2x+√3sinxcosx
=(1-cos2x)/2+√3/2*sin2x
=sin(2x-π/6)+1/2

2.f(a)=sin(2a-π/6)+1/2
=sin(-π/2+2a+π/3)+1/2
=-cos(2a+π/3)+1/2
=-[2cos^2(a+π/6)-1]+1/2
=-2cos^2(a+π/6)+3/2
=-2*9/16+3/2
=3/8

回答（2）：

最大值为2/3，最小值为-1/2，第二题看不懂你的题是啥？请详细点呗

回答（3）：

将括号打开，sin方x+根号三sinxcosx，由于1-2sin方x=cos2x，因此sin方x=二分之一-二分之一乘cos2x，根号3sinxcosx=二分之根号3sin2x，整理得二分之一-二分之一乘cos2x+二分之根号3sin2x，整理得二分之一+sin（2x-30度），可求最大最小值。第二问多打了一个x吗