如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC于E，D为AB上一点，且∠ADE =∠C，BE=2根号3

1、三角形ADE和ACB相似，所以DE：BC=AE：AB。∠A=60°，BE=2根号3，所以：AB=4，AE=2。
唉，算不下去了，还有没有其他条件啊？公式都忘着差不多了。好像面积法可以计算，不过公式忘了。

DE=2 Y=9（根号3)/2 X

楼主仔细检查一下题吧！
题肯定有不对的地方。

朋友，题目没问题，但第2个问题有问题。△ABE的面积可以直接求出来，不存在y与x的函数关系。x、y都能直接求解出来。
（1）求解x、y
△ABE为以∠BEA为直角的△，由于∠A=60°
所以，AE=BEX1/√3=2√3X1/√3=2
AB=2XAE=2X2=4
BD=AB-AD=4-√2
x=BD/AD =(4-√2)/√2=2√2-1
y=△ABE的面积=1/2XAEXBE=1/2X2X2√3=2√3

所以x、y之间没有任何函数关系。 当然，你可以通过求面积的公式强加一个函数关系在里面。如果要的话，给你创造一个函数关系吧。
y=1/2XAEXBE
=1/2X(1/2XAB)XBE
=1/2X(1/2X(BD+AD))XBE
=1/2X(1/2X(ADXx+AD))XBE
=1/2X(1/2X(x+1)XAD))XBE
=1/2X1/2X(x+1)X√2X√3
得出
y=√6/4X(x+1)

（2）求解DE
过D点作辅助线DF⊥BE于F点。
由于BE⊥AC于E（已知条件） ，即AE⊥BE
所以，△DBF与△ABE相似
故，DF=AEXBD/AB=2X(4-√2)/4=2-√2/2
BF=BEXBD/AB=2√3X(4-√2)/4=2√3-√6/2
EF=BE-BF=2√3-（2√3-√6/2）=√6/2

由于DF⊥BE于F点，所以，△DFE为直角三角形
所以DEXDE=DFXDF+EFXEF
=（2-√2/2）X（2-√2/2）+√6/2X√6/2
=6-2√2
DE=√（6-2√2）=根号6-8开四次方。

(1)求DE
三角形ABE可解出, ∠AEB=90, ∠A=60, 所以∠ABE=30度,
从而可知 AE=BE*tg30=(2√3)/√3=2, AB=AE/sin30=4
因为BC和EC未定,所以随着EC的变化,∠C在90度至30度之间变化,
∠ADE=∠C做着同样变化,
当C点迫近E点时,∠ADE趋近90度，DE＝2cos30=√3
当C点远离E点，∠C达到30度时，DE=BE=2√3
所以DE的变化范围可定：√3 （2）设AD=根号2，BD/AD =x,△ABE的面积为y,求y关于x的函数关系
上面说了，D点未定，所以这里设AD=√2是合理的条件，从而把D点定了下来，
但D点的变化对△ABE的面积无影响，
面积是定值，y=AE*BE/2=2*(2√3)/2=2√3

解：∵BE平分∠ABC，（已知）
∴∠CBE=∠DBE（角平分线的意义）
∵DE∥BC（已知）
∴∠DEB=∠CBE（ 两直线平行，内错角相等）
∴∠DEB=∠DBE．
∵∠ADE=∠DEB+∠DBE=70°（三角形的一个外角等于两个不相邻的外角之和）
∴∠DEB=12∠ADE=35