58问答库 > 若数列{an}满足a1=1,且a(n+1)=4an+2的n次方，求an的通项公式

若数列{an}满足a1=1,且a(n+1)=4an+2的n次方，求an的通项公式

急·······

2025-01-19 20:34:34

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回答（1）：

解：
a(n+1)=4an+2ⁿ
a(n+1)+2ⁿ=4an+2×2ⁿ=4an+4×2^(n-1)
[a(n+1)+2ⁿ]/[an+2^(n-1)]=4，为定值。
a1+2^0=1+1=2
数列{an+2^(n-1)}是以2为首项，4为公比的等比数列。
an+2^(n-1)=2×4^(n-1)=2^(2n-1)
an=2^(2n-1)-2^(n-1)
n=1时，a1=2-1=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2^(2n-1)-2^(n-1)

回答（2）：

解
a(n+1)=4an+2^n
两边同除以2^(n+1)得
a(n+1)/2^(n+1)=2an/2^n+1/2
a(n+1)/2^(n+1)+1/2=2(an/2^n+1/2)
a1/2^1+1/2=1
∴数列{an/2^n+1/2}是以1为首项,公比是2的等比数列
∴an/2^n+1/2=1*2^(n-1)
∴an=2^(2n-1)-2^(n-1) (n>=1)