已知公差大于零的等差数列a n 的前n项和为S n ，且满足：a 3 ?a 4 =117，a 2 +a 5 =22．（1）求数列a n

2025-05-18 12:20:57

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回答（1）：

（1）a_n 为等差数列，a₃ ?a₄ =117，a₂ +a₅ =22
又a₂ +a₅ =a₃ +a₄ =22
∴a₃ ，a₄ 是方程x² -22x+117=0的两个根，d＞0
∴a₃ =9，a₄ =13
∴

a 1 +2d=9

a 1 +3d=13

∴d=4，a₁ =1
∴a_n =1+（n-1）×4=4n-3
（2）由（1）知， s n =n+

n(n-1)×4

=2 n 2 -n
∵ b n =

s n

n+c

2 n 2 -n

c+n

∴ b 1 =

1+c

， b 2 =

2+c

， b 3 =

3+c

，
∵b_n 是等差数列，∴2b₂ =b₁ +b₃ ，∴2c² +c=0，
∴ c=-

（c=0舍去），
（3）由（2）得 b n =

2 n 2 -n

=2n ， T n =2n+

n(n-1)×2

= n 2 +n=(n+1)n
2T_n -3b_n-1 =2（n² +n）-3（2n-2）=2（n-1）² +4≥4，
但由于n=1时取等号，从而等号取不到2T_n -3b_n-1 =2（n² +n）-3（2n-2）=2（n-1）² +4＞4，

∴

64 b n

(n+9) b n+1

64×2n

(n+9)?2(n+1)

64n

n 2 +10n+9

+10

≤4 ，
n=3时取等号（15分）
（1）、（2）式中等号不能同时取到，所以 2 T n -3 b n-1 ＞

64 b n

(n+9) b n+1

．