已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an⼀an+2。求证数列{1⼀an}是否为等差数列并求出an

2025-01-07 20:38:33

推荐回答（2个）

回答（1）：

an+1=2an/an+2
两边取倒数
1/a(n+1)=(an+2)/2an
1/a(n+1)=1/2+1/an
所以1/a(n+1)-1/an=1/2
所以数列{1/an}是等差数列
首项为1/2,公差为1/2
1/an=1/2+1/2 *(n-1)=n/2
所以 an=2/n

回答（2）：

an+1=2an/an+2
两边取倒数
1/an+1=an+2/2an
=1/an+1/2
∴{1/an}是以1/a1为首项，1/2为公差的等差数列
∴1/an=1/a1+(n-1)*1/2
1/an=1/2+(n-1)*1/2
=n/2
∴an=2/n

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