58问答库 > 已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且a2n+1=(a2n-a2n-1)⼀2,a2n+2=根号下(a2n+1a2n)(n=1,23，...)试求{an}的通项

已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且a2n+1=(a2n-a2n-1)⼀2,a2n+2=根号下(a2n+1a2n)(n=1,23，...)试求{an}的通项

2025-05-14 15:31:28

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回答（1）：

a3=1/2,a4=1
a5=1/4,a6=1/2
a7=1/8,a8=1/4……
猜想：a2n-1＝(1/2)^(n-1),n=1,2,3,4...
a2n=(1/2)^(n-2),n=1,2,3,4...
证明：n＝1时，二者都成立，
假设n＝N时候成立，a2N-1＝(1/2)^(N-1),n=1,2,3,4...
a2N=(1/2)^(N-2),n=1,2,3,4...
侧当n＝N＋1时，a2N＋1＝（a2N－a2N－1）/2=(1/2)^N,满足猜想。
a2N+2=根号下(a2N**a2N＋1）＝(1/2)^(N-1),满足猜想。
所以猜想：a2n-1＝(1/2)^(n-1),n=1,2,3,4...
a2n=(1/2)^(n-2),n=1,2,3,4...
成立。