已知函数f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数

2025-05-13 08:37:55

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回答（1）：

（1）∵f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1，
∴x＞1， f ′ (x)=

x-1

-k ，
∵x＞1，∴当k≤1时， f ′ (x)=

x-1

-k ＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；
当k＞0时，f（x）在（1，1+

）上是增函数，在（1+

，+∞）上为减函数．
（2）∵f（x）≤0恒成立，
∴?x＞1，ln（x-1）-k（x1）+1≤0，
∴?x＞1，ln（x-1）≤k（x-1）-1，
∴k＞0．
由（1）知，f（x）_max =f（1+

）=ln

≤0，
解得k≥1．
故实数k的取值范围是[1，+∞）．
（3）令k=1，则由（2）知：ln（x-1）≤x-2对x∈（1，+∞）恒成立，
即lnx≤x-1对x∈（0，+∞）恒成立．
取x=n² ，则2lnn≤n² -1，
即

lnn

n+1

≤

n-1

，n≥2，
∴

1n2

1n3

1n4

+…

1nn

n+1

＜

n(n-1)

(n∈ N * 且n＞1）．