求N的所有因数的个数的公式

2025-05-23 02:35:19

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回答（1）：

给定一个正整数n，求出它的所有正因数没有什么公式，只有正因数的个数是有公式的。这个公式就是
如果n的素因数分解为n=p1^(m1)p2^(m2)...pk^(mk)，
那么正整数n所有正因数的个数就是
n*(1-1/p1)*(1-1/p2)...*(1-1/pk)。
举个例子：如果n=900，那么n=2^2*3^2*5^2。
按照公式900的所有正因数的个数是900*(1-1/2）*(1-1/3）*(1-1/5）=240。
这个公式的证明就是用容斥原理，就是考虑n的正因数中能被p1整除的、能被p2整除的，等等，然后利用容斥原理的公式求得。

回答（2）：

把N分解质因数后，每一个质因数的指数加一相乘的积，就是因数的个数。
如：20=2^2*5,则因数的个数=(2+1)(1+1)=6

回答（3）：

将N表示成N=p1^a1*p2^a2*…*pn^an.其中pi（i=1，2，…，n）是互不相等的质数，ai（i=1，2，…，n）是自然数。
约数的个数就是s=（1+a1）*（1+a2）*…*（1+an）。
证明:
因为N的因数必是N的素因子的组合,
故P1
有1+a1
种选法P1^0,P1^1,P1^2,...,P1^a1
由排列组合知N有s=（1+a1）*（1+a2）*…*（1+an）个约数!!

回答（4）：

这个没有简单的（可写成初等解析式的）公式的。如果有的话，大整数的因数分解就没那么困难了。
换句话说，以现在数学的发展，还不能给出这样一个公式来。即使有，那也只能是建立在这个整数N已经分解出来的基础上，那就没有意义了。