求一道高数题的详解 ∫√[(a+x)⼀(a-x)］dx

∫√〔(a+x)/(a-x)〕dx的不定积分等于2aarctan√[(a+x)/(a-x)]-√(a^2-x^2) + C

换元,令√[(a+x)/(a-x)]=t,则x=a(t^2-1)/(t^2+1),dx=4at/(t^2+1)^2 dt

原积分

= ∫ t*4at/(t^2+1)^2 dt

=4a ∫ t^2/(t^2+1)^2 dt

=4a [∫1/(t^2+1) dt -∫1/(t^2+1)^2dt]

再换元,令t=tanu,u=arctant,dt=1/(cosu)^2.sinu=t/√(1+t^2),cosu=1/√(1+t^2).则上式

=4a [arctant - ∫ (cosu)^2 du]

=4a [arctant - ∫ (1+cos2u)/2 du] 

=4a [arctant - u/2-sin2u/4 +C]

=2a [2arctant - u-sinucosu +C]

=2a [2arctant - arctant-t/(1+t^2) +C]

=2aarctan√[(a+x)/(a-x)]-√(a^2-x^2) + C

扩展资料

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c