58问答库 > e^y+xy=y(x)确定隐函数y(x)，求y✀|x=0和y"|x=0

e^y+xy=y(x)确定隐函数y(x)，求y✀|x=0和y"|x=0

2025-05-20 09:50:59

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回答（1）：

郭敦荣回答：
设隐函数y(x)=e^y+xy= z，
对x求导(实际上是求偏导，但仍用普通导数符号)得，dz/dx=y，
对y求导得，dz/dy=e^y+x，
∴y′=dy/dx=（dz/dx）/（dz/dy）=y/（e^y+x）
∴y'|（x=0）= y/（e^y+x）=y/（e^y）。

y′=y/（e^y+x）=t，
∂t/∂x=－y/√（e^y+x），
∂t/∂y=[（e^y+x）－（ye^y）]/（e^y+x）²，
y"=∂y/∂x=[－y/√（e^y+x）]/ {[（e^y+x）－（ye^y）]/（e^y+x）²}
=[－y（e^y+x）²]/{[（e^y+x）－（ye^y）]√（e^y+x）}
=[－y（e^y+x）^（3/2）]/[（e^y+x）－（ye^y）]。

y"|（x=0）=[－y（e^y+x）^（3/2）]/[（e^y+x）－（ye^y）]
=[－y（e^y）^（3/2）]/[e^y－ye^y]
=[－y（e^y）^（3/2）]/[e^y（1－y）]
=[－y√（e^y）]/（1－y）
=y√（e^y）]/（y－1）。