解答：解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．
∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，∴AD=AC=
a．
2
设G为CD的中点，则CG=
a，AG=1 2
a．
7
2
∴S△ABC＝S△ABD＝
a2，S△BCD＝1 2
a2，S△ACD＝
3
4
a2．
7
4
三棱锥D-ABC的表面积为S△ACD＝
a2．4+
+
3
7
4
（2）取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．
∵AF=3FC，∴F为CH的中点．
∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．
（3）存在这样的点N，
当CN=
CA时，MN∥平面DEF．3 8
连CM，设CM∩DE=O，连OF．
由条件知，O为△BCD的重心，CO=
CM．2 3
∴当CF=
CN时，MN∥OF．∴CN=2 3
?3 2
CA＝1 4
CA．3 8
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