已知函数f（x）=ax2-2x+1． 若函数g（x）=|f（x）|（a≥0）在[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

1)a=0时g(x)=|-2x+1|=2x-1,x∈[1,2]是增函数；
2)a>0时f(x)=a(x-1/a)^2+1-1/a,在x>=1/a时是增函数，
(i)a>=1时1/a<=1,f(x)>=0,g(x)=f(x)在[1,2]上是增函数;
(ii)01,
①x<=[1-√(1-a)]/a或x>=[1+√(1-a)]/a，f(x)>0,
g(x)=f(x)在[1,2]上不都是增函数。
②[1-√(1-a)]/a∴[1-√(1-a)]/a<1,1/a>=2,
∴1-a<√(1-a),a<=1/2,
解得0综上，a的取值范围是{a|0<=a<=1/2,或a>=1}.

由题意可知2/（2a)=1/a》2=>a《1/2，且{1+（1-a)^1/2}/a《1=>a《1所以0《a《1/2。

分类讨论:
1)若a=0,f(x)=-2x+1在R上单调减少,∵f(x)与x轴相交于点(1/2,0),所以x>1/2时,g(x)=-f(x)单调增加,从而在[1,2]上是增函数;
2)若a>0
①当△=4-4a≤0,即a≥1时: g(x)=|f(x)|=f(x),其对称轴为x=-(-2)/(2a)=1/a≤1,因此g(x)在(1/a,+∞)单调增加从而在[1,2]单调增加;
②当△=4-4a>0,即0显然在区间(x1,x2)上g(x)=-f(x),所以g(x)在(x1,1/a)单调增加,在(1/a,x2)单调减少.
由根与系数的关系定理x1·x2=1/a,由于x2>1/a>1,∴x1<1.
为使得g(x)在[1,2]上单调增加必须且仅需1/a≥2,即0综上述,a的取值范围是[0,1/2]∪[1,+∞)