求教大神！用定积分几何意义求极限。。谢谢了！

2025-05-10 17:18:15

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回答（1）：

回答（2）：

ln[ ( 1+1/n)^2 .(1+2/n)^2....(1+ n/n)^2] ^(1/n)
=(1/n)[ ln( 1+1/n)^2 +ln( 1+2/n)^2+...+ln( 1+n/n)^2 ]
= ∫(0->1)ln(1+x)^2 dx
= 2∫(0->1)ln(1+x) dx
=2[xln(1+x)]|(0->1) - 2 ∫(0->1)(x/(1+x) ) dx
=2ln2 - 2[x -ln(1+x)] |(0->1)
=2ln2 - 2(1 -ln2)
=4ln2 -2

回答（3）：

原式=（2/n）(ln(1+1/n)+ln(1+2/n)+...+ln(1+n/n))（n->无穷）
求定积分∫(0->1)2ln(1+x)dx的几何极限模式 n->无穷（2/n）(ln(1+1/n)+ln(1+2/n)+...+ln(1+n/n))的极限原式=2∫(0->1)ln(1+x)dx=(xln(1+x)-x+ln(1+x))(0->1)=2（ln2-1+ln2）=4ln2-2