设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，

2025-05-21 03:40:13

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回答（1）：

解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为

r，故r²=2b²，
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有
r²=a²+1．
从而得2b²-a²=1．
又点P（a，b）到直线x-2y=0的距离为d＝

|a?2b|

，
所以5d²=|a-2b|²
=a²+4b²-4ab
≥a²+4b²-2（a²+b²）
=2b²-a²=1，
当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d²=1，从而d取得最小值．
由此有

a＝b

2b2?a2＝1

解此方程组得

a＝1

b＝1

或