解答数学题2（详细解答过程）

最后1次前，1个柜子的因数有多少，就会被开关几次
所有素数都只有2个因数，所以最后1次前都是关着的，最后那次也就没意义
问题就是问1到3400有多少数的因数是奇数个

一共有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53这些质因数
设z=2^a 3^b 5^c 7^d 11^e 13^f 17^g 19^h 23^i 29^j 31^k 27^l 41^m 43^n 47^o 53^p

即z<=3400, (a+1)(b+1)...(p+1)为奇数的解的个数

所以a,b...p中必须偶数个数是奇数，偶数个数是偶数

我们1个1个算,2^12>3400, 所以2最多10次方，否则2^11乘以任何1个别的数都>3400

所以得到
2^10, 1个
2^9*3, 2^9*5， 2个
2^8*3^2， 1个
2^7*3, 2^7*5, 2^7*7, 2^7*11, 2^7*13, 2^7*17, 2^7*19, 2^7*23， 8个
2^6*3^2, 2^6*3*5, 2^6*3*7, 2^6*3*11, 2^6*3*13, 2^6*3*17, 2^6*5^2, 2^6*5*7, 2^6*7^2， 9个
2^5*（其他所有1次方，15个), 2^5*3^3, 2^5*3^2*5, 2^5*3^2*7, 2^5*3^2*11, 2^5*3*5^2, 2^5*3*5*7， 21个
2^4*3^4, 2^4*3^3*5, 2^4*3^3*7, 2^4*3^2, 2^4*3*(其他所有1次方，14个)，2^4*5*(5到41所有1次方，11个)，2^4*7*(7到29所有1次方，7个)，2^4*11*(11到19所有1次方，4个), 2^4*13^2, 41个
2^3*(其他所有1次方，15个),2^3*3^5, 2^3*3^4*5, 2^3*3^3，2^3*3^2*(5到47所有1次方，13个), 2^3*3*5*(5到23所有1次方，7个)， 2^3*3*7*（7到19所有1次方，5个）,2^3*3*11^2, 2^3*5^3, 2^3*5^2*(7到17所有1次方，4个)，2^3*5*7^2, 2^3*5*7*11, 2^3*7^3， 52个
2^2*3^6, 2^2*3^4, 2^2*3^3*(5到31所有1次方，9个)，2^2*3^2*5*(5到17所有1次方，5个), 2^2*3^2*7*(7到13所有1次方，3个)， 2^2*3*(其他所有1次方，15个)，2^2*5^4, 2^2*5*(其他所有1次方，14个)， 2^2*7*(其他所有1次方，13个)， 2^2*11*(其他所有1次方，12个)，2^2*13*(其他所有1次方，11个)，2^2*17*(17到47所有1次方，9个)，2^2*19*(19到43所有1次方，7个)，2^2*23*(23到31所有1次方，3个)，2^2*29^2， 105个

以下略

我汗。。。