如图，已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 （a＞b＞0）的离心率 e=

2025-05-17 21:45:16

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回答（1）：

（1）∵椭圆

x 2

a 2

y 2

b 2

（a＞b＞0）的离心率 e=

，短轴长为2，
∴

a 2 - b 2

b=1

，
∴a=

，b=1，
椭圆方程为

x 2

+ y 2 =1 ．
（2）假若存在这样的k值，由

y=kx+2

x 2 +3 y 2 -3=0

得（1+3k² ）x² +12kx+9=0．
∴△=（12k）² -36（1+3k² ）＞0①
设C（x₁ ，y₁ ）、D（x₂ ，y₂ ），则

x 1 + x 2 =-

12k

1+3 k 2

x 1 ? x 2 =

1+3 k 2

②
若以CD为直径的圆过E点，则

=0，即（x₁ +1）（x₂ +1）+y₁ y₂ =0，
而y₁ y₂ =（kx₁ +2）（kx₂ +2）=k² x₁ x₂ +2k（x₁ +x₂ ）+4，
代入上式得，化为（k² +1）x₁ x₂ +（2k+1）（x₁ +x₂ ）+5=0．
把（**）代入上式得

9 k 2

1+3 k 2

12k(2k+1)

1+3 k 2

+5=0
解得k=

，满足k² ＞1．
∴存在k=

，使得以线段CD为直径的圆过E点．