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58问答库 > 已知函数f（x）=1x2+4（x≠0），各项均为正数的数列{an}中a1=1，1an+12=f（an），（n∈N*）．（1）求数列

已知函数f（x）=1x2+4（x≠0），各项均为正数的数列{an}中a1=1，1an+12=f（an），（n∈N*）．（1）求数列

2025-05-19 16:21:56

推荐回答（1个）

回答（1）：

（1）∵数f（x）=

1

x2

+4（x≠0），
各项均为正数的数列{a_n}中a₁=1，

1

an+12

=f（a_n），
∴

1

an+12

=

1

an2

+4，
∴

1

an2

=1+（n-1）×4=4n-3，
∴a_n=

1

4n-3

．
（2）∵b_n?

(3n-1)an2+n

an2

=1，
∴b_n=

an2

(3n-1)an2+n

=

1

4n-3

3n-1

4n-3

+n

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

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