58问答库 > 急求答案！！！经过点M（2，1）作直线交双曲线x^2-y^2=1于A、B两点，如果M为线段AB中点，求直线AB的方程。

急求答案！！！经过点M（2，1）作直线交双曲线x^2-y^2=1于A、B两点，如果M为线段AB中点，求直线AB的方程。

2025-05-18 18:18:59

推荐回答（2个）

回答（1）：

设直线AB的参数方程为
x = 2 + t * cosα
y = 1 + t * sinα
代入双曲线方程并整理有
(cos²α-sin²α)t²+(4cosα-2sinα)t+2=0
M是线段中点得出上面的方程的两个根t1和t2满足
t1+t2=0
从而 4cosα-2sinα=0
所以 tanα=2，即为直线斜率
所以直线方程为
y-1=2(x-2)，即y=2x-3

回答（2）：

设AB直线的方程为y-1=k（x-2）
联解方程x^2-y^2=1和y-1=k（x-2），消去y得x的方程
（1-k^2）x^2+(4k^2-2k)x+4k=0
这样，用韦达定理，x1+x2=(4k^2-2k)/(k^2-1)
x1*x2=4k/（1-k^2）

M的横坐标为(x1+x2)/2，
所以解得k=2

这样直线方程为y=2x-3