58问答库 > 已知数列{an}的前n项和为sn，且满足sn=1⼀4（an+1）^2,an>0

已知数列{an}的前n项和为sn，且满足sn=1⼀4（an+1）^2,an>0

2025-01-26 22:59:20

推荐回答（3个）

回答（1）：

解:
(1)
由S1=a1=1/4(a1+1)^2
得:a1=1
由S2=a1+a2=1/4(a2+1)^2
得:a2=3

(2)
Sn=1/4(an+1)^2
S(n-1)=1/4[a(n-1)+1]^2
2式相减
4an=(an+1)^2-[a(n-1)+1]
(an-1)^2-[a(n-1)+1]=0
[an-1+a(n-1)+1][an-1-a(n-1)-1]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
因为an＞0
所以an-a(n-1)=2
所以an是等差数列
an=1+(n-1)*2=2n-1

(3)
bn=20-an=21-2n
则bn也是等差数列
要和最大
则前n项都要大于等于0
21-2n≥0
2n≤21
n≤21/2
所以n最大取10
所以bn的前10项和最大

回答（2）：

解:(1)由S1=a1=1/4(a1+1)^2
得:a1=1
由S2=a1+a2=1/4(a2+1)^2
得:a2=3
(2) Sn=1/4(an+1)^2
S(n-1)=1/4[a(n-1)+1]^2
2式相减
4an=(an+1)^2-[a(n-1)+1]
(an-1)^2-[a(n-1)+1]=0
[an-1+a(n-1)+1][an-1-a(n-1)-1]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
因为an＞0
所以an-a(n-1)=2
所以an是等差数列
an=1+(n-1)*2=2n-1
(3)bn=20-an=21-2n
则bn也是等差数列
要和最大
则前n项都要大于等于0
21-2n≥0
2n≤21
n≤21/2
所以n最大取10
所以bn的前10项和最大。

回答（3）：

(1)先令n=1得a1=1，再令n=2，得a2=3或-1，因为an>0，故a2=3；（2）由题得4Sn=an^2+2an+1,则有4Sn-1=
an-1
^2+2
an-1
+1,上面两式1-2得4an=an^2-2an+
an-1
^2+2an-1,
移项合并得(an+
an-1
)(an-
an-1
-2)=0,又an>0则an=an-1
-2,即该数列是首项1公差2的等差数列，易得an=2n-1(3)易得bn=21-2n,则其前N项和为Tn=-n^2+20n=-(n-10)^2+100，即当n=10时Tn最大为100。希望能解决你的问题