解：过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．
∵AB、BC是⊙O的切线，
∴点E、F是切点，
∴OE、OF是⊙O的半径；
∴OE=OF；
在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，
∴由勾股定理，得
BC=8；
又∵D是BC边的中点，
∴S△ABD=S△ACD，
又S△ABD=S△ABO+S△BOD，
∴
AB?OE+1 2
BD?OF=1 2
CD?AC，即10×OE+4×0E=4×6，1 2
解得，OE=
，12 7
∴⊙O的半径是
；12 7
故选A．
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