58问答库 > 如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，且与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，

如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，且与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，

2025-05-23 15:54:19

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回答（1）：

（1）①证明：如图1，连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB．
∴∠CBA+∠OBP=90°．
∵OA⊥l于点A，
∴∠PCA+∠CPA=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠CPA，
∴∠PCA=∠CBA，
∴AB=AC．
②解：当r=3时，∵AO²=AB²+BO²，
∴AB=

52?32

=4，
过点O作OQ⊥PB于点Q，则PB=2PQ，
∵∠OPQ=∠CPA，∠OQP=∠CAP=90°，
∴△OPQ∽△CPA，
∴

，
∴

22+42

，
解得：PQ=

，
∴PB=

；

（2）解：S_△ABE=S_△ADC；
理由：连接CO，
∵CB平分∠ACO，
∴∠OCP=∠ACP，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACP，
∴∠ABC=∠OCP，
∴OC∥AB，
∴S_△ABE=S_△ADC；

（3）解：如备用图：
作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，
则可以推出OE=

AC=

AB=