高数：已知f(x+y,y)=x^2+y^2,求f(x,y)

解答：

这道题用“换元法”是最简单的，首先可设：m=x+y，n=y
此时将x，y看成未知数，m，n看成已知数来解这个二元一次方程组，于是就可以得到：x=m-n，y=n

然后再将f(x+y,y)=x^2+y^2中的x，y全部换成m，n，也就是将x=m-n，y=n代入f(x+y,y)=x^2+y^2，所以：
f(m,n)=(m-n)^2+n^2=m^2-2mn+2n^2
然后再将m，n看成x，y就可以了：
f(x,y)=x^2-2xy+2y^2

这道题实际就是要把x^2+y^2变换成只由x+y和y组成的多项式
x^2+y^2
=x^2-y^2+2y^2
=(x+y)(x-y)+2y^2
=(x+y)[(x+y)-2y]+2y^2
将式中(x+y)替换为x
所以f(x,y)=x(x-2y)+2y^2
=x^2+2y^2-2xy

设x=z-y 代入方程得：
f(z,y)=(z-y)^2+y^2
=z^2-2yz+2y^2
所以f(x,y)=x^2-2xy+2y^2

f(x+y,y)=(x+y)^2-2y
另t=x+y,q=y
则
f(t,q)=t^2-2q

所以
f(x,y)=x^2-2y

f(x+y,y)=x^2+y^2
=x^2+2xy+y^2-2xy
=(x+y)^2-2(x+y-y)y
=(x+y)^2-2y(x+y)+2y^2
即f(x,y)=x^2-2xy+2y^2