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已知各项均为正数的数列{a n }满足： a 1 =3， a n+1 + a n n+1 = 8 a n+
已知各项均为正数的数列{a n }满足： a 1 =3， a n+1 + a n n+1 = 8 a n+
2025-05-14 10:00:04
推荐回答（1个）
回答（1）：
（I）∵
a
n+1
+
a
n
n+1
=
8
a
n+1
-
a
n
，
∴a
n+1
2
-a
n
2
=8（n+1）
∴a
n
2
=（a
n
2
-a
n-1
2
）+（a
n-1
2
-a
n-2
2
）+…+（a
2
2
-a
1
2
）+a
1
2
=8[n+（n-1）+…+2]+9=（2n+1）
2
∴a
n
=2n+1．…（5分）
（II）
b
2n
=
1
a
2n
=
1
(2n+1)
2
＜
1
4n(n+1)
=
1
4
(
1
n
-
1
n+1
)
∴
S
n
＜
1
4
[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)]=
1
4
(1-
1
n+1
)＜
1
4
…（12分）
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