高二数学的涂色问题

如果各侧面有顺序，答案是72种。

你把这个立体图从棱锥顶点处拆开，变形后可以“拍扁”成一个平面图形，中间是原来的底面，四边围绕着4个侧面（像一朵四瓣的花）。这个变形不改变面与面的连通性，从而不改变涂色的结果。
这样就成为高中数学中更常见的一个地图着色问题，或许对你直观理解上有帮助。

回到题目。由对称性知，底面和四个侧面关系不同，但四个侧面之间是相互对称的，从而可以看成是等价的。

设底面颜色已经选好，有4种选法。

现在来涂另外的4个侧面。4个侧面只能用剩下的3种颜色来涂。这是一个环形队列的涂色问题。
如果各侧面不同，设为ABCD四个面，A有3种选法，B只有2种，C又有3种，D只有1种（被AC限制，D与B颜色相同），共计3*2*3 = 18种；如果各侧面看成相同的，则先选用了两次的相同的颜色，有3种，剩下的2种有顺时针、逆时针2种排法，共计3*2 = 6种。

综合底面选法和侧面选法：
如果各侧面有顺序，则一共有4*18 = 72种；
如果各侧面没有顺序，即看成相同的，则一共有4*6 = 24种。
（注：我跟兰色热带鱼解法不同，他是先选侧面。不过结果是一样的）

补充：
如果题目不要求一定得把4种颜色用完，则选侧面时分两种情况：
1）用了2种颜色。选颜色有C(3,2) = 3种方法；如果把各侧面看成不同的，涂起来又有2种方法（abab或baba）。
共计：各侧面不同有3*2 = 6种，各侧面看成相同则3种。
2）用了全部3种颜色。同上。
这时最后的答案是：
如果各侧面有顺序，4*(6 + 18) = 96种；
如果各侧面没有顺序，4*(3 + 6) = 36种。