高数题，求极限

因为lim(1+x)^(1/x)=e
所以，原式属于“0/0”，由罗必塔法则有：
原式=lim[(1+x)^(1/x)]'………………………………①
令y=(1+x)^(1/x)
==> lny=(1/x)ln(1+x)=[ln(1+x)]/x
==> (1/y)y'=[(1/1+x)·x-ln(1+x)]/x²=[x-(1+x)ln(1+x)]/x²
==> y'={[x-(1+x)ln(1+x)]/x²}·y
代入①即得，原式=lim{[x-(1+x)ln(1+x)]/x²}·(1+x)^(1/x)
=e·lim[x-(1+x)·ln(1+x)]/x²
=e·lim[1-ln(1+x)-1]/(2x)
=(-e/2)·lim[ln(1+x)]/x
=(-e/2)·lim1/(1+x)
=-e/2

😁

x->0
tanx ~ x+(1/3)x^3
sinx ~ x-(1/6)x^3
tanx -sinx ~(1/2)x^3
lim(x->0) [√(1+tanx) -√(1+sinx) ]/ { x√[1+(sinx)^2] -x }
=lim(x->0) [(1+tanx) -(1+sinx) ]/ ( { x√[1+(sinx)^2] -x } .[√(1+tanx) +√(1+sinx) ] )
=(1/2)lim(x->0) [(1+tanx) -(1+sinx) ]/ ( { x√[1+(sinx)^2] -x }
=(1/2)lim(x->0) (tanx -sinx)/ ( { x√[1+(sinx)^2] -x }
=(1/2)lim(x->0) (tanx -sinx). [√[1+(sinx)^2] +1]/ { x( [1+(sinx)^2] -1 ) }
=lim(x->0) (tanx -sinx)/ [ x.(sinx)^2 ]
=lim(x->0) (1/2)x^3/ x^3
=1/2