58问答库 > 已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（﹣1）=﹣2．（1）

已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（﹣1）=﹣2．（1）

2025-05-24 07:21:25

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回答（1）：

解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0
（2）令y=﹣x，得f（﹣x+x）=f（x）+f（﹣x）
即f（0）=f（x）+f（﹣x）
∴f（x）+f（﹣x）=0，
即f（﹣x）=﹣f（x）
因此f（x）为R上的奇函数，
（3）设x₁ ，x₂ ∈R，且x₁ ＜x₂ ，则x₂ ﹣x₁ ＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞0
∴f（x₂ ﹣x₁ ）＞0
又∵f（x₂ ）=f[（x₂ ﹣x₁ ）+x₁ ]=f（x₂ ﹣x₁ ）+f（x₁ ）
∴f（x₂ ）﹣f（x₁ ）＞0，可得f（x₁ ）＜f（x₂ ）
∴f（x）为奇函数
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，f（﹣2）=2f（﹣1）=﹣4
∵f（x）为R上的增函数，
∴当﹣2≤x≤1时，f（﹣2）≤f（x）≤f（1），
即函数在[﹣2，1]上的值域为[﹣4，2]