求一道工科数学分析的关于最值的一条定理的证明

你的我没有见过这样的符号,开区间还是闭区间呢,

诚如你所说,,<,>这是区间通用符号，随意开闭都可以.
若f(x)在上连续且在有且只有一个极值,则此极值就是最值

用反证法证明:
极大值和极小值证明同理,所以只证明一个就行了.
不妨设在c处取到最小值f[c],在d处取到极小值f[d],则f[c]在d的无限小邻域内c的一侧可以找到一点e,使得f[e]>f[d],
在c和d之间存在一点e使得 f[e]>f[c],f[e]>f[d],再根据函数的连续性,
可以得出函数在c和d之间存在极大值.与区间内只有一个极值相矛盾.

假设x0点取极大值值，x1点取最大值。
由任意性设：a f（x1）〉f(x0)
x0点取极值则必存在一邻域U（c，d），使f（x）即存在x1>x2>x0,使f(x2)根据闭区间连续函数的性质，则存在x3：x2〈x3f（x3）=f（x0）
根据罗尔定理，则存在x4：x0〈x4〈x3时，存在f'（x4）=0
即f（x）在x4点也取极值，与有且只有一个极值矛盾。
当x0点取极小值时，同理可证。
故若f(x)在上连续且在有且只有一个极值,则此极值就是最值。

http://www.sanxiau.net/jpkc/gdsx/doc/2004112216182270221.doc
你自己下下来看看吧，应该能找到