已知函数f（x）=lnx- a x ．（1）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；（2）若f（x）在[

2025-05-11 08:39:02

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回答（1）：

（1）函数的定义域为（0，+∞），且f′（x）=

x+a

x 2

∵a＞0，∴f′（x）＞0
∴f（x）在定义域上单调递增；
（2）由（1）知，f′（x）=

x+a

x 2

①若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数
∵f（x）在[1，e]上的最小值为

，
∴f（x）_min =f（1）=-a=

，
∴a=-

（舍去）
②若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f（x）_min =f（e）=1-

，∴a=-

（舍去）．
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0，得x=-a．
当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）上为减函数；
当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）上为增函数，
∴f（x）_min =f（-a）=ln（-a）+1=

，∴a=-

．
综上可知：a=-

．