58问答库 > 如图，AB是⊙O的直径，AM、BN是它的切线，E在⊙O上，OD∥BE交AM于D，DE交BN于C，F为CD中点，连OF交BE于T

如图，AB是⊙O的直径，AM、BN是它的切线，E在⊙O上，OD∥BE交AM于D，DE交BN于C，F为CD中点，连OF交BE于T

2025-05-12 17:08:25

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回答（1）：

解答：（1）证明：连结OE，如图，
∵OE=OB，
∴∠1=∠3，
∵OD∥BE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2=∠4，
∵AB是⊙O的直径，AM、BN是它的切线，
∴∠OAM=∠OBN=90°．
在△OAD和△OED中，

OA＝OE

∠4＝∠2

OD＝OD

，
∴△OAD≌△OED（SAS），
∴∠OED=∠OAD=90°，
∴OE⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；

（2）解：作DH⊥BC与H，如图，
∵∠OAM=∠OBN=90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∴AB=DH，AD=BH，
∵F为CD中点，O为AB的中点，
∴OF为梯形ABCD的中位线，
∴OF=

（AD+BC），

∴AD+BC=2（OT+TF）=2（3+2）=10，
∵DC与⊙O切于E点，
∴DA=DE，CB=CE，
∴DC=DE+CE=AD+BC=10，
∴DF=5，
∵CB=CE，
∴∠5=∠6，
∵TF∥BC，
∴∠ETF=∠6，
∴∠ETF=∠5，
∴FE=FT=2，
∴DE=DA=DF-EF=5-2=3，
∴BC=10-3=7，
∴CH=BC-BH=7-3=4，
在Rt△DHC中，DH=

DC2?CH2

102?42

，
∴AB=2

．