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高数，微分方程，

2025-05-15 00:02:30

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回答（1）：

∴(1)是微分方程(2)的解，但不是通解。

下面求xy'-y=xsinx的通解：

先求齐次方程 xy'-y=0的通解：

分离变量得：dy/y=dx/x；积分之得lny=lnx+lnc=lncx；

故齐次方程的通解为：y=cx；将c换成x的函数u，得y=ux.........①

取导数得：y'=u+u'x........②；将①②代入原方程得：x(u+u'x)-ux=xsinx;

化简得u'x²=xsinx；即u'=(sinx)/x；故u=∫[(sinx)/x)]dx；

代入①式即得原方程的通解为：y=x∫[(sinx)/x)]dx；或写成：

【此积分包含有任意的积分常数。但此积分不能表为有限形式，也就是积不出来。】

回答（2）：

y=x∫（0，x）sint/t×dt
求导，代入即可：
y'=∫（0，x）sint/t×dt+x（sinx/x）=∫（0，x）sint/t×dt+sinx
代入：
xy'-y
=x∫（0，x）sint/t×dt+xsinx-∫（0，x）sint/t×dt=xsinx
是解。但是不是通解。把积分下限换成常数a，就是通解了。