58问答库 > 如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于 M，交DC于N．

如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于 M，交DC于N．

2025-05-15 13:59:17

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回答（1）：

（1）连接ME，设MN交BE于P，根据题意，得
MB=ME，MN⊥BE．（2分）
过N作AB的垂线交AB于F．
在Rt△MBP中，∠MBP+∠BMN=90°，
在Rt△MNF中，∠FNM+∠BMN=90°，
∴∠MBP=∠MNF．
在Rt△EBA与Rt△MNF中，
∵AB=FN，
∴Rt△EBA≌Rt△MNF，故MF=AE=x．
在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=AB-AM=2-AM，
∴（2-AM）² =x² +AM² ．
4-4AM+AM² =x² +AM² ，即4-4AM=x² ，
解得AM=1-

x² ．（5分）
所以梯形ADNM的面积S=

AM+DN

×AD=

AM+AF

×2
=AM+AF=AM+AM+MF=2AM+AE
=2（1-

x² ）+x
=-

x² +x+2
即所求关系式为s=-

x² +x+2．（8分）

（2）s=-

x² +x+2=-

（x² -2x+1）+

（x-1）² +

故当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大，最大值是

．