已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=2且a2,a4,a8成等比数列,若bn=2n(an+2),则数列{bn}的前n项和的取

2025-05-13 11:31:14
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设等差数列{an}是公差为d,且d不为0,
由a1=2且a2,a4,a8成等比数列得,(2+4d)2=(2+d)(2+7d),
解得d=2或d=0(舍去),
所以an=a1+(n-1)d=2n,
则bn=

2
n(an+2)
=
2
n(2n+2)
1
n(n+1)
=
1
n
?
1
n+1

所以数列{bn}的前n项和Sn=b1+b2+…+bn
=(1-
1
2
)+(
1
2
?
1
3
)+…+(
1
n
?
1
n+1
)=1?
1
n+1
<1,
又n≥1,所以Sn
1
2

所以数列{bn}的前n项和Sn的取值范围是[
1
2
,1),
故选:A.