先证f≤
，当且仅当x＝y＝z＝1 7
时等号成立．1 3
因f＝Σ
＝1?2Σx(x+3y?1) 1+x+3y
…（*）x 1+x+3y
由柯西不等式：Σ
≥x 1+x+3y
＝(Σx)2 Σx(1+x+3y)
，1 Σx(1+x+3y)
因为Σx(1+x+3y)＝Σx(2x+4y+z)＝2+Σxy≤
．7 3
从而 Σ
≥x 1+x+3y
，f≤1?2×3 7
＝3 7
，fmax＝1 7
，当且仅当x＝y＝z＝1 7
时等号成立．1 3
再证f≥0，当x=1，y=z=0时等号成立．
事实上，f(x，y，z)＝
+x(2y?z) 1+x+3y
+y(2z?x) 1+y+3z
=xy(z(2x?y) 1+z+3x
?2 1+x+3y
)+xz(1 1+y+3z
?2 1+z+3x
)+yz(1 1+x+3y
?2 1+y+3z
)=1 1+z+3x
+7xyz (1+x+3y)(1+y+3z)
+7xyz (1+z+3x)(1+x+3y)
≥07xyz (1+y+3z)(1+z+3x)
故fmin=0，当x=1，y=z=0时等号成立．
故f（x，y，z）的最大值和最小值分别为
，0．1 7
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